Campus      Figurative Intelligenz

»Zahllose Mathematik«  –   Ein Plädoyer für die figurative Intelligenz

Wer glaubt, dass Mathematik nur etwas mit Zahlen zu tun hat, oder doch vorwiegend mit Zahlen, hat bekanntlich ein nettes kleines Vorurteil. Dort, wo die moderne Mathematik gegenwärtig am erfolgreichsten ist und wo ihre Entdeckungen die spannendsten und wertvollsten Anwendungen finden, sind weniger Zahlen im Spiel – als vielmehr Figuren. Wie spannend diese »zahllose« Mathematik sein kann, möchte ich Ihnen auf dieser Seite an einigen Beispielen zeigen.
Unsere Zahlenintelligenz ist für uns natürlich wichtig. Es wird für sie ja auch – von der Grundschule an – eine Menge getan. Mindestens ebenso wichtig ist aber unsere figurative Intelligenz. Sie wissen nicht, was ich meine? Da liegt das Problem: Wir kennen sie nicht richtig, wir schätzen sie nicht, und daher pflegen wir sie auch nicht.
Figurative Intelligenz hat etwas mit unserem räumlichen Vorstellungsvermögen zu tun, sie umfasst aber weit mehr. Mathematik wird heute von vielen als die Wissenschaft von den Mustern verstanden. Statt »Muster« könnten wir hier auch »Struktur« sagen. Die Regeln und Gesetze, die die Welt der Mathematik regieren (und unsere Welt), treten uns immer in der Form von Mustern entgegen. Wir betreiben Mathematik, wenn und indem wir solche Muster entdecken, lesen und verstehen. Unser Gehirn scheint nun so zu funktionieren, dass wir eher und leichter figurative Muster verstehen können als numerische. Unser Zahlverständnis stützt sich auf unser Figurenverständnis. Wer also gut rechnen können möchte, muss zu allererst lernen, in figurativen Mustern zu denken – so scheint es zumindest nach unserem aktuellen Wissensstand zu sein. Das heißt aber nichts anderes als: Die eigentliche mathematische Basisintelligenz ist die figurative Intelligenz.

Doch lassen wir hier das Grundsätzliche – schauen wir lieber einige Beispiele an. Diese Beispiele sind ganz simpel, aber vielleicht auch tiefsinnig – es kommt ganz darauf an, was Sie für sich daraus machen. Sie werden sehen, dass Sie durch Experimentieren und Nachdenken Ihre eigene figurative Intelligenz trainieren können. Und zwar mit erstaunlichem Resultat in ziemlich kurzer Zeit. Sie müssen nur eines tun: Selbst handeln. Erst Handeln (das können Sie nur mit Ihren Händen; pardon, aber das ist nicht mehr allen klar), dann Sehen, dann Denken. Und etwas später alles gleichzeitig. Probieren Sie es einfach mal aus. So kommt die Mathematik in unseren Kopf. Was unsere Hände getan haben, kann unser Kopf am besten verstehen. Aber wie sollen Sie mit den Beispielen denn handeln? Probieren Sie es aus, Sie werden schon Wege finden.

Sollten die Beispiele Ihr Interesse wecken, dann kommen Sie doch einfach in meine Vorlesungen Muster und Strukturen, Kognitive Geometrie oder Körpergeometrie. Sie kennen sich bereits aus? Dann forschen Sie doch selbst: Schreiben Sie Ihre Staatsarbeit über eine Forschungsfrage der figurativen Intelligenz, oder Ihre Dissertation. Wenn Sie einen Kommentar, eine Idee oder eine Frage haben, freue ich mich über eine E-Mail von Ihnen:

figurative_intelligenz@prof-dr-berger.de

Rätselhafte Animation

Hier sehen Sie eine trickreiche, wirklich geheimnisvolle Animation. Dass sich Kreise drehen, ist ja nichts Besonderes. Doch auf rätselhafte Weise vermag Ihr Computer zu verfolgen, wohin Sie gerade blicken: Der Kreis, den Sie fixieren, wird sofort gestoppt. Probieren Sie's aus. – Wie kann das gehen? Haben Sie eine Ahnung? Wer animiert hier wen? – Fragen über Fragen ...

Wenn Sie eine Vermutung haben, können Sie ja mal
auf der Homepage von Akiyoshi Kitaoka nachschauen.

Ja gibt's denn so was?!

Das Holzmodell, das ich hier fotografiert habe, ist mir beim Lackieren leider etwas verdorben. Wie Sie sehen, bin ich im Handwerken nicht so gut. – Oder führe ich Sie mit diesem Bild schlicht an der Nase herum, und es gibt so einen Körper überhaupt nicht? Was meinen Sie?

Könnte es vielleicht ein reales Objekt geben, das von einem bestimmten Punkt aus fotografiert genau dieses Bild liefern würde, das Sie hier sehen?

Eine Kugel mit Ecken ...

Hier sehen Sie das von vielen am heißesten geliebte – und doch ständig mit Füßen getretene – geometrische Objekt. Aus welchem platonischen Körper können Sie dieses Polyeder durch Eckenabschneiden herstellen? Tipp: Die Schnittflächen sind hier blau gefärbt.

Die Animation wurde erzeugt mit PolyPro 1.11.
Eine Demoversion können Sie kostenlos herunterladen.

Finden Sie die eineiigen Zwillinge ...

Aus welchem der drei oberen Knoten können Sie – ohne Zerschneiden – den unteren herstellen? Die oberen drei sind sämtliche Knoten (genauer: Primknoten) mit 6 Überkreuzungen, die es gibt. Der untere Knoten scheint 7 Überkreuzungen zu haben, doch das liegt nur an der Perspektive, aus der man ihn hier sieht.

Aufgaben wie diese übersteigen leicht unsere Vorstellungskraft, vor allem wenn wir untrainiert sind. Die Bilder wurden übrigens mit der Software KnotPlot hergestellt, die Rob Scharein im Rahmen seiner Dissertation geschrieben hat.

Eine kleine Welt aus fünf Würfeln ...

Vielleicht kennen Sie Polyominos, diese aus mehreren gleichgroßen Quadraten zusammengeklebten Figuren. Die Verallgemeinerung der Polyonimos in die 3. Dimension sind die Polykuben: Hier kleben Sie mehrere gleichgroße Würfel passgenau Fläche-an-Fläche zusammen. Wenn Sie genau 5 Würfel nehmen, erhalten Sie Pentakuben (Fünfwürfler). Wie viele verschiedene Pentakuben sehen Sie hier?

Pentakuben zu zeichnen, ist übrigens auf Kästchenpapier ganz leicht. Eine vereinfachte Kavaliersperspektive erhalten Sie, wenn Sie jede Würfelfront als 2-mal-2-Quadrat zeichnen und die schrägen Würfelkanten als Diagonalen eines Kästchens (natürlich immer einheitlich, z.B. nach hinten rechts aufsteigend). Versehentlich gezeichnete, aber eigentlich nicht sichtbare Linien (»hidden lines«) radieren Sie weg. Wie viele verschiedene Pentakuben gibt es insgesamt? Weniger als 10? Mehr als 100? Oder über 1000? Kombinatorische Formeln nützen hier wenig. Auch hier gilt, wie so oft: »Probieren geht über Studieren!« Zeichnen Sie doch einfach mal so viele Pentakuben, wie Sie in fünf Minuten schaffen ...

Die Geometrie des Pascalschen Dreiecks ...

Hier sehen Sie das Pascalsche Dreieck. Die Zahlen fehlen, dafür sehen Sie Farben. Aber was bedeuten diese Farben? Tipp: Sie kodieren bestimmte einfache Eigenschaften der Zahlen, die hier eigentlich stehen müssten. Besonders aufschlussreich sind die Lücken im Bild (Codefarbe weiß). Dieses konkrete Muster hat etwas mit der Zahl 4 zu tun. Was, das finden Sie heraus, wenn Sie ganz oben anfangen und sich langsam nach unten voranarbeiten ...

Wie Sie sehen, ist die »zahllose Mathematik« doch nicht immer ganz ohne Zahlen. Aber Sie sehen hier auch: Die tieferen Einblicke in die Struktur dieser Zahlen liefert Ihnen oft nicht Ihre numerische Intelligenz. Sondern Ihre figurative Intelligenz.

The Oval Portrait ...

Einer dieser drei Herren wurde am 19. Januar 1809 in Baltimore geboren und gilt als Begründer der modernen analytischen Detektivgeschichte, ja als einer der bedeutendsten Schriftsteller der Weltliteratur. Auf welchem Bild ist er zu sehen? Wie heißt er? Und wer sind die Herren auf den beiden anderen Bildern? (Vielleicht haben Sie Lust, einen ähnlichen Kriminalfall selbst zu entwerfen und eine eigene Fotoserie herzustellen. Was müssten Sie tun?)

Hier können Sie etwas von ihm lesen ...

Spieglein, Spieglein an der Wand ...

Können Sie erklären, warum dieser eigenartige Spiegel nur QUALITY verdreht, CHOICE aber nicht? Oder ist das hier gar kein ehrliches Foto, sondern nur eine Montage?

Puzzle your brain ...

Zwei beliebige Quadrate können Sie stets in fünf Teilfiguren zerlegen, aus denen Sie ein neues Quadrat zusammenlegen können. Wie geht's? (Übrigens: Wo muss der Punkt S genau liegen? Wie finden Sie ihn geometrisch? Können Sie sogar beweisen, dass die fünf Teilfiguren ein Quadrat ergeben?)

Das Dodekaeder  –  ein bedachter Würfel ...

Wenn Sie auf die sechs Seiten eines Würfels geeignete Dächer setzen, erhalten Sie ein Dodekaeder. Wie kann das sein? Diese Verwandtschaft von Würfel und Dodekaeder wird von der Zahl 12 gestiftet. Bauen Sie Würfel und Dächer aus Papier; wenn Sie den Zusammenhang zwischen Seite a und Diagonale d im Fünfeck kennen, haben Sie die Netze schnell gezeichnet (Stichwort: goldener Schnitt, stetige Teilung). Rechnen Sie hier nicht – nehmen Sie den Zirkel. Übrigens: Die Dachhöhe h ist gerade die halbe Seitenlänge a. Warum?

Das Oloid  –  ein Torkelkörper ...

Wenn Sie zwei Kreisscheiben senkrecht ineinander schieben, erhalten Sie einen Zweikreisroller – ein Gebilde, das überraschend gut rollen kann (Abb. links). Probieren Sie mit zwei Bierdeckeln aus, wie weit Sie die Scheiben ineinander schieben müssen, damit der Roller optimal rollt. Sie können als Optimum erreichen, dass der Schwerpunkt beim Rollen seine Höhe über der Rollebene nicht ändert. Dann rollt dieser Roller ebenso gut wie ein Zylinder.

Die konvexe Hülle eines dieser Zweikreisroller ist das Oloid (Abb. rechts). Dieser Körper spielt als Mischbehälter in der chemischen Industrie eine besondere Rolle.

Einen anderen Torkler erhalten Sie, wenn Sie zwei Kegel (mit rechtem Winkel an der Spitze) zu einer Spindel zusammenkleben, die Sie dann zerschneiden und um 90 Grad verdreht erneut zusammenkleben (Abb. unten).